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如图,建立平面直角坐标系x0y,x轴在地平面上,y轴垂直于地平面,单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.
已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx-
120
(1+k2)x2(k>0)表示的曲线上,其中k与发射方向有关.炮弹的射程是指炮弹落地点的横坐标.
(1)求炮的最大射程;
(2)若规定炮弹的射程不小于6千米,设在此条件下炮弹射出的最大高度为f(k),求f(k)的最小值.
分析:(1)在y=kx-
1
20
(1+k2)x2(k>0)中,令y=0,求出x,利用基本不等式,即可求得炮的最大射程;
(2)利用配方法,求得炮弹射出的最大高度为f(k),根据炮弹的射程不小于6千米,确定k的范围,即可求f(k)的最小值.
解答:解:(1)在y=kx-
1
20
(1+k2)x2(k>0)中,令y=0,得kx-
1
20
(1+k2)x2=0.-(2分)
由实际意义和题设条件知x>0,k>0.
∴x=
20k
1+k2
=
20
1
k
+k
20
2
=10,当且仅当k=1时取等号.-------------------(5分)
∴炮的最大射程是10千米.------------------------------------------------(6分)
(2)∵炮弹的射程不小于6千米,∴
20k
1+k2
≥6

1
3
≤k≤3
----------------------------------(8分)
y=kx-
1
20
(1+k2)x2=-
1
20
(1+k2)(x-
10k
1+k2
)2
+
5k2
(1+k2)2

∴f(k)=
5k2
(1+k2)2
1
3
≤k≤3
)-----------------------(10分)
∴f(k)=5(1-
1
1+k2
)(
1
3
≤k≤3
)--------(11分)
又f(k)在[
1
3
,3]
上单调递增---------------(12分)
∴f(k)的最小值为
1
2
-----------------------------------------------(14分)
点评:本题考查函数模型的运用,考查基本不等式,考查配方法的运用,考查学生的计算能力,属于中档题.
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