Question

已知圆C过点P（1，1），且与圆M：（x+2）²+（y+2）²=r²（r＞0）关于直线x+y+2=0对称．
（1）判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；
（2）过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A，B．若直线PA和直线PB互相垂直，求PA+PB的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用对称性，确定圆C的方程，求出两半径之和，即可判断圆C与圆M的位置关系；
（2）分类讨论，设出直线的方程求出点C到PA、PB的距离，即可得出结论．
解答：解：（1）设圆心C（a，b），则，解得a=0，b=0
则圆C的方程为x²+y²=r²，将点P的坐标代入得r²=2，故圆C的方程为x²+y²=2
∴，又两半径之和为，∴圆M与圆C外切．
（2）若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在，则PA=PB=2，此时PA+PB=4．
若直线PA与PB斜率都存在，且互为负倒数，故可设PA：y-1=k（x-1），即kx-y+1-k=0，（k≠0）
点C到PA的距离为，同理可得点C到PB的距离为，
∴=2（+），
（PA+PB）²=4（2+2）＞8
∴PA+PB≥2，
综上：l₁、l₂被圆C所截得弦长之和的最小值为2．
点评：本题考查圆的方程，考查圆与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．