Question

已知椭圆C的焦点在轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于．

    (Ⅰ)求椭圆C的方程。

    (Ⅱ)过椭圆的右焦点F作直线，交椭圆C于A、B两点，交轴于点，若，求证为定值．

Answer 1

解：(Ⅰ)设椭圆C的方程为，则由题意知．

    ∴,即.∴

∴椭圆的方程为．  

   (Ⅱ)方法一：设、、点的坐标分别为，，．又易知点的坐标为．  

∵  ∴．

∴．

将点坐标代到椭圆方程中，得．

去分母整理得．

同理，由可得：．

∴，是方程的两个根，

∴． 

方法二：设、、点的坐标分别为，，．又易知 点的坐标为．

显然直线，存在斜率，设直线，的斜率为，则直线的方程是．

将直线的方程代入到椭圆的方程中，消去并整理得

2)．

       ∴，.

       又∵，，将各点坐标代入得

           

  ∴．