Question

在计算“1×2+2×3+…+n（n+1）”时，有如下方法：
先改写第k项：k（k+1）=

1

3

[k（k+1）（k+2）-（k-1）k（K+1）]，
由此得：1×2=

1

3

（1×2×3-0×1×2），
2×3=

1

3

（2×3×4-1×2×3），…，
n（n+1）=

1

3

[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]，
相加得：1×2+2×3+…+n（n+1）=

1

3

n（n+1）（n+2）．
类比上述方法，请你计算“1×3+2×4+…+n（n+2）”，其结果写成关于n的一次因式的积的形式为：

1

6

n（n+1）（2n+7）

．

Answer 1

分析：类比，先改写第k项k（k+2）=

1

6

[k(k+1)(2k+7)-(k-1)k(2k+5)]，再累加，即可求得结论．

解答：解：由题意，k（k+2）=

1

6

[k(k+1)(2k+7)-(k-1)k(2k+5)]
由此得：1×3=

1

6

（1×2×9-0×1×7）），
2×3=

1

6

（2×3×11-1×2×9），
…，
n（n+2）=

1

6

[n(n+1)(2n+7)-(n-1)n(2n+5)]
相加得：1×3+2×4+…+n（n+2）=

1

6

n（n+1）（2n+7）
故答案为：

1

6

n（n+1）（2n+7）

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．