函数y=f(x)的定义域D={x|x∈R.且x≠0}.对定义域D内任意两个实数x1.x2.都有f(x1)+f(x2)=f(x1x2)成立．的值并证明y=f(x)为偶函数,=4.记 an=(-1)n•f(2n).求数列{an}的前2015项的和S2015, 若x＞1时.f(x)＜0.且不等式$f≤f$对任意正实数x.y恒成立.求非零实数a的取值范围� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．函数y=f（x）的定义域D={x|x∈R，且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x₁，x₂，都有f（x₁）+f（x₂）=f（x₁x₂）成立．
（1）求f（-1）的值并证明y=f（x）为偶函数；
（2）若f（-4）=4，记 a_n=（-1）ⁿ•f（2ⁿ）（n∈N，n≥1），求数列{a_n}的前2015项的和S₂₀₁₅；
（3）（理）若x＞1时，f（x）＜0，且不等式$f（\sqrt{{x^2}+{y^2}}）≤f（\sqrt{xy}）+f（a）$对任意正实数x，y恒成立，求非零实数a的取值范围．
（文）若x＞1时，f（x）＜0，解关于x的不等式 f（x-3）≥0．

分析（1）利用赋值法求f（-1）的值，利用偶函数的定义判断函数为偶函数；
（2）先根据f（n）求数列{a_n}的通项，进而可求数列{a_n}的前2015项的和S₂₀₁₅；
（3）先说明f（x）＞0，（0＜x＜1），利用基本不等式求出即可，（文）根据函数为偶函数即f（x-3）≥0，可有0＜|x-3|≤1，从而可解不等式．

解答解：（1）赋值得f（1）=f（-1）=0，
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴函数为偶函数；
（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2ⁿ）=f（2^n-1）+f（2），
∴f（2ⁿ）=2n，
∴a_n=2•（-1）ⁿn，
∴S₂₀₁₅=-2016；
（3）设 $0＜x＜1，则\frac{1}{x}＞1$，
$0=f（1）=f（x）+f（\frac{1}{x}）$，
得f（x）＞0（0＜x＜1），
（理）$f（\sqrt{{x^2}+{y^2}}）≤f（\sqrt{xy}）+f（a）$，
得：$f（\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{a\sqrt{xy}}}）≤0$?$\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{|a|\sqrt{xy}}}≥1$$|a|≤\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{xy}}}$恒成立，
又$\frac{{\sqrt{{x^2}+{y^2}}}}{{\sqrt{xy}}}≥\sqrt{2}$，从而$0＜|a|≤\sqrt{2}$．
（文）f（x-3）≥0?0＜|x-3|≤1?2≤x＜3或3＜x≤4．

点评本题的考点是函数恒成立问题，主要考查合适的形式，考查数列与函数的关系，考查恒成立问题，关键是分离参数，利用最值法求解．

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