Question

7．已知数列{a_n}是首项、公比都为正数的等比数列，数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为$\frac{{8（{4^n}-1）}}{3}$，则数列{a_n}的通项公式为${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$．

Answer 1

分析 通过令n=1可知$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$=8，令n=2可知$\frac{1}{{a}_{3}•{a}_{4}}$=32，利用q²=$\frac{{a}_{3}•{a}_{4}}{{a}_{1}•{a}_{2}}$可知q=$\frac{1}{2}$，利用a₁•a₂=${{a}_{1}}^{2}$•q=$\frac{1}{8}$可知a₁=$\frac{1}{2}$，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$=$\frac{8（4-1）}{3}$=8，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}•{a}_{4}}$=$\frac{8（16-1）}{3}$=40，
∴$\frac{1}{{a}_{3}•{a}_{4}}$=40-$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$=40-8=32，
∴q²=$\frac{{a}_{3}•{a}_{4}}{{a}_{1}•{a}_{2}}$=$\frac{8}{32}$=$\frac{1}{4}$，
解得：q=$\frac{1}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$（舍），
又∵a₁•a₂=${{a}_{1}}^{2}$•q=$\frac{1}{8}$，
∴a₁=$\frac{1}{2}$或q=-$\frac{1}{2}$（舍），
∴数列{a_n}是首项、公比都为$\frac{1}{2}$的等比数列，
于是${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$，
故答案为：${a_n}={（{\frac{1}{2}}）^n}$．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．