Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x，\;\;\;x＜0\\ 0，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=0\\-{x^2}+2x，\;x＞0\end{array}$．
（1）在所给的坐标系中画出该函数的图象；
（2）由图象写出的单调区间，并指出函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可得函数图象；
（2）结合已知中函数的图象，可得函数的单调区间及区间[-2，2]上的最大值和最小值；
（3）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，则-1＜a-2≤1，解得答案．

解答 解：（1）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+2x，\;\;\;x＜0\\ 0，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x=0\\-{x^2}+2x，\;x＞0\end{array}$的图象如下图所示：


（2）由图可得：
函数f（x）的单调递增区间为：（-1，1）；
函数f（x）的单调递减区间：（-∞，-1），（1，+∞）；
在区间[-2，2]上，
函数f（x）的最大值1，
函数f（x）的最小值-1
（3）若函数f（x）在区间[-1，a-2]上单调递增，
则-1＜a-2≤1，
解得：1＜a≤3．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，数形结合思想，函数的单调性和最值．