Question

如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，给出下列命题：
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行．
其中真命题是

①②④

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①需要构造一个过点M且与直线AB、B₁C₁都相交的平面，就可判断；
②利用过空间一点有且只有一条直线与已知平面平行判断；
③可举反例，即找到两个或两个以上过点m且与直线AB、B₁C₁都相交的平面，即可判断．
④利用线面平行的性质来判断即可．

解答：解：过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B₁C₁相交，设交点为P，
连接MP，则MP 与直线AB相交，∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交；①正确
∵直线BC∥直线B₁C₁，直线BC与直线AB确定平面ABCD，过点M有且只有直线D₁D⊥平面ABCD
即过点M有且只有直线D₁D⊥AB，⊥BC，∴过点M有且只有直线D₁D⊥AB，⊥B1C₁
∴过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直；②正确
过M点与直线AB有且只有一个平面，该平面与直线B₁C₁相交，
过M点与直线B₁C₁有且只有一个平面，该平面与直线AB相交，
∴过点M不止一个平面与直线AB、B₁C₁都相交，③错误
过M分别作AB，B₁C₁的平行线，都有且只有一条，这两条平行线成为相交直线，确定一个平面，
该平面与AB，B₁C₁平行，且只有该平面与两直线平行，∴④正确
故答案为①②④．

点评：本题主要考查了异面直线的概念与性质，为多选题，必须逐个判断．