Question

如图，以

3

2

为离心率的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设点Q是椭圆位于x轴下方的一点，直线AP、BQ的斜率分别为k₁，k₂，若k₁=7k₂，设△BPQ与△APQ的面积分别为S₁，S₂，求S₁-S₂的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出

c a = 3 2 ab=2 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线PQ的方程为x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0利用根的判别式、韦达定理、直线斜率公式能求出S₁-S₂的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵以

3

2

为离心率的椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右顶点分别为A和B，
点P是椭圆位于x轴上方的一点，且△PAB的面积最大值为2，
∴

c a = 3 2 ab=2 a2=b2+c2

，（2分）
解得a=2，b=1，c=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+y²=1．（4分）
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
设直线PQ的方程为x=my+t，代入

x2

4

+y²=1，
得（m²+4）y²+2mty+t²-4=0，（5分）
△=4m²t²-4m²t²-16t²+16m²+64=-16t²+16m²+64，
∵A（-2，0），B（2，0），直线AP、BQ的斜率分别为k₁，k₂，
∴k₁=

y1

x1+2

，k₂=

y2

x2-2

，
由k₁=7k₂，得

y1

x1+2

=

7y2

x2-2

，
∴

y12(x2-2)2

y12(x1+2)2

=49，∴

(1- x12 4 )(x2-2)2

(1- x22 4 )(x1+2)

=49，（7分）
∴

(2-x1)(2-x2)

(2+x1)(2+x2)

=49，∴12x₁x₂+25（x₁+x₂）+48=0，①
x₁x₂=（my₁+t）（my₂+t）=

4(t2-m2)

m2+4

，
x₁+x₂=（my₁+t）+（my₂+t）=

8t

m2+4

，
代入①得6t²+25t+24=0，得t=-

3

2

，或t=-

8

3

（是增根，舍去），（9分）
∴

y1+y2= 3m m2+4 y1y2= - 7 4 m2+4

，（10分）
所以|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=

16m2+28

(m2+4)2

=-36（

1

m2+4

）²+16×

1

m2+4

=-36（

1

m2+4

-

2

9

）²+

16

9

≤

16

9

，
当m²=

1

2

时最大值．（11分）
∴S₁-S₂=

1

2

×3×|y1-y2|=

3

2

×

16 9

=≤2，
∴S₁-S₂的最大值为2．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两个三角形面积之差的最大值的求法，综合性强，难度大，解题时要注意等价转化思想的合理运用．