Question

经过点（0，-1）作圆C：x²+y²-6x+7=0的切线，切点分别为A和B，点Q是圆C上一点，则△ABQ面积的最大值为

4(1+ 5 )

5

．

Answer 1

分析：先确定直线AB的方程，利用点到直线的距离公式，求出|AB|，△ABQ面积的最大值时，Q到AB的距离最大，此时CQ⊥AB
，确定Q到AB的最大距离，即可得到结论．

解答：解：圆C：x²+y²-6x+7=0化为标准方程为（x-3）²+y²=2，
以（0，-1）与C连线为直径的圆的方程为x²+y²-3x+y=0，两圆方程相减，可得直线AB的方程为3x+y-7=0
圆心C到直线AB的距离为

|9-7|

10

=

2

10

，∴|AB|=2

2- 4 10

=

4 10

5

△ABQ面积的最大值时，Q到AB的距离最大，此时CQ⊥AB
∵点（0，-1）到直线AB的距离为

|-1-7|

10

=

8

10

，点（0，-1）与圆心的距离为

10

∴Q到AB的距离最大值为

10

+

2

-

8

10

=

1

5

10

+

2

∴△ABQ面积的最大值为

1

2

×

4 10

5

×(

1

5

10

+

2

)=

4(1+ 5 )

5

故答案为

4(1+ 5 )

5

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．