Question

【题目】(导学号：05856259)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋ax2＋1，y＝f(x)的图象在点(－1，f(－1))处的切线过点(1，－7)，则a＝__.

Answer 1

【答案】1

【解析】若x＜0，则﹣x＞0，

∵当x≥0时，f（x）= x3＋ax2＋1，

∴当﹣x≥0时，f（﹣x）=﹣x3＋ax2+1，

∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（﹣x）=﹣x3＋ax2+1=f（x），

即f（x）=﹣x3+ ax2+1，x＜0，

∵y=f（x）的图象在点（﹣1，f（﹣1））处的切线过点（1，﹣7），

∴f（﹣1）=1+a+1=2+a，即切点坐标为（﹣1，2+a）

∴f′（x）=-3x2+2ax，则f′（﹣1）=-3-2a，则切线斜率k=-3-2a，

则切线方程为y-2-a =（-3-2a）（x+1），

∵切线过点（1，﹣7），

∴﹣7-2-a =2（-3-2a）=-6-4a，即a=1，

故答案为：1