Question

已知如图，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D、D₁分别为AC、A₁C₁上的点．
（1）当等于何值时，BC₁∥平面AB₁D_1？
（2）若平面BC₁D∥平面AB₁D₁，求的值．

Answer 1

解：（1）如图，取D₁为线段A₁C₁的中点，此时=1，
连接A₁B交AB₁于点O，连接OD₁．
由棱柱的性质，知四边形A₁ABB₁为平行四边形，所以点O为A₁B的中点．
在△A₁BC₁中，点O、D₁分别为A₁B、A₁C₁的中点，
∴OD₁∥BC₁．
又∵OD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁，
∴BC₁∥平面AB₁D₁．
∴=1时，BC₁∥平面AB₁D₁，

（2）由已知，平面BC₁D∥平面AB₁D₁
且平面A₁BC₁∩平面BDC₁=BC₁，
平面A₁BC₁∩平面AB₁D₁=D₁O．
因此BC₁∥D₁O，同理AD₁∥DC₁．
∴=，=．
又∵=1，
∴=1，即=1．
分析：（1）欲证BC₁∥平面AB₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC₁与平面AB₁D₁内一直线平行，取D₁为线段A₁C₁的中点，此时=1，连接A₁B交AB₁于点O，连接OD₁，OD₁∥BC₁，OD₁?平面AB₁D₁，BC₁?平面AB₁D₁，满足定理所需条件；
（2）根据平面BC₁D与平面AB₁D₁平行的性质定理可知BC₁∥D₁O，同理AD₁∥DC₁，根据比例关系即可求出所求．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的性质，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．