Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，，且（n=2，3，4，…）．
（1）求a₃、a₄的值；
（2）设（n∈N^*），试用b_n表示b_n+1并求{a_n}的通项公式；
（3）求证：对一切n∈N^*且n≥2，有．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，，且（n=2，3，4，…），
∴=，
=．
（2）当n≥2时，，
累乘得．
整理得当n≥2时，，即．
又n=1时也成立，故，n∈N^*．
（3）当k≥2时，有，
所以．
分析：（1）由a₁=1，，且（n=2，3，4，…），分别令n=2，3，能够求出a₃，a₄．
（2）当n≥2时，，利用累乘法能够求出{a_n}的通项公式．
（3）当k≥2时，有，利用裂项求和法能够证明．
点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．