Question

（2012•长春一模）已知点A（-1，0），B（1，0），动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ|

AM

|•|

BM

|cos²θ=3，过点B的直线交曲线C于P、Q两点．
（1）求|

AM

|+|

BM

|的值，并写出曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设出M的坐标，利用余弦定理及|

AM

|•|

BM

|cos²θ=3，可求得|

AM

|+|

BM

|为定值，利用椭圆的定义可推断出点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，进而求得a和c，则b可求，从而求得椭圆的方程．
（2）设直线PQ方程与椭圆的方程联立消去x，设出P，Q的坐标利用韦达定理进而求得（y₁-y₂）²的表达式，换元，利用函数的单调性，即可求得三角形面积的最大值．

解答：解：（1）由题意，|AM|=|

AM

|，|BM|=|

BM

|
设M（x，y），在△MAB中，|AB|=2，∠AMB=2θ
∴|AM|²+|BM²|-2|AM|•|BM|cos2θ=4
∴（|AM|+|BM|）²-2|AM|•|BM|（1+2cos2θ）=4
∴（|AM|+|BM|）²-4|AM|•|BM|cos²θ=4
∵|

AM

|•|

BM

|cos²θ=3
∴|AM|+|BM|=4
∴|

AM

|+|

BM

|=4
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）设直线PQ方程为x=my+1（m∈R）由 x=my+1与

x2

4

+

y2

3

=1，
消元可得：（3m²+4）y²+6my-9=0
显然，方程①的△＞0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则有S=

1

2

×2×|y₁-y₂|=|y₁-y₂|
y₁+y₂=-

6m

3m2+4

，y₁y₂=-

9

3m2+4

∴（y₁-y₂）²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=48×

3m2+3

(3m2+4)2

令t=3m²+3，则t≥3，（y₁-y₂）²=

48

t+ 1 t +2

由于函数y=t+

1

t

在[3，+∞）上是增函数，∴t+

1

t

≥

10

3

故（y₁-y₂）²≤9，即S≤3
∴△APQ的最大值为3，此时直线PQ的方程为x=1

点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合问题．解题的关键是直线与椭圆联立，利用韦达定理计算三角形的面积，利用函数的单调性确定最值，综合性强．