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(2012•泸州一模)数列{an},{bn}(n=1,2,3…)由下列条件确定:①a1<0,b1>0;②当k≥2时,ak与bk满足:当ak-1+bk-1≥0时,ak=ak-1bk=
ak-1+bk-1
2
;当ak-1+bk-1<0时,ak=
ak-1+bk-1
2
,bk=bk-1
(Ⅰ)若a1=-1,b1=1,求a2,a3,a4
(Ⅱ)在数列{bn}中,若b1b2>…>bs(s≥3,且s∈N*),用a1,b1表示bk(k∈[1,2,…,s])并求
s
i=1
bi
分析:(1)根据a1+b1≥0,可得 a2=a1=-1,b2=
a1b1
2
=0;根据a2+b2=-1<0,可得 a3 和 b3 的值;再根据 a3+b3=-
1
2
<0,求得a4=
a3+b3
2
的值.
(2)通过分类讨论可知,所以无论哪种情况,都有bk-ak=
bk-1-ak-1
2
,从而可获得数列bn-an为等比数列进而可获得问题的解答;结合条件经分类讨论可知
ak-1+bk-1
2
≥0,对于2≤k≤n,ak=ak-1,bk=
ak-1+bk-1
2
从而an=an-1 =a1.由(1)即可获得问题的结论.
解答:解::(1)若a1=-1,b1=1,满足若a1+b1≥0,则 a2=a1=-1,b2=
a1b1
2
=0.
此时,a2+b2=-1<0,a3=
a2+b2
2
=-
1
2
,b3=b2=0.
此时 a3+b3=-
1
2
<0,a4=
a3+b3
2
=-
1
4

综上可得,a2=-1,a3=-
1
2
,a4=-
1
4

(2)当
ak-1+bk-1
2
≥0时,bk-ak=
ak-1+bk-1
2
-ak-1=
bk-1-ak-1
2

ak-1+bk-1
2
<0时,bk-ak=bk-1-
ak-1+bk-1
2
=
bk-1-ak-1
2

所以无论哪种情况,都有bk-ak=
bk-1-ak-1
2

因此,数列{bk-ak}是首相为b1-a1,公比为
1
2
的等比数列,∴bn-an=(b1-a1)•(
1
2
)
n-1

由b1>b2>>bn(n≥2)时,bk≠bk-1(2≤k≤n),由上可知,
ak-1+bk-1
2
<0
不成立,
所以
ak-1+bk-1
2
≥0,对于2≤k≤n,ak=ak-1,bk=
ak-1+bk-1
2
,于是an=an-1 =a1
由此可得,bk=a1+(b1-a1)•(
1
2
)
s-1
(k=2,3,…,s)

s
i=1
bi
=na1+(b1-a1)•(1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+…+
1
2s-1
)=na1+(b1-a1)•[2-(
1
2
)
s-1
]=(n-2)a1+2b1-(b1-a1)•(
1
2
)
s-1
点评:本题考查的是数列与不等式的综合类问题,在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、数列求和的知识以及问题转化的知识,值得同学们体会和反思,属于难题.
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3
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3
3
4
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3
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2
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2
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2
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