Question

在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于正方形ABCD所在平面，PD=DA
（1）求证：BC⊥平面PDC；
（2）求直线PD与平面PBC所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）要证BC与面PDC垂直，只需证BC⊥DC，BC⊥PD，根据已知不难证明；
（2）先找到所求的线面角，可过点D作DH⊥PC于H，易证∠DPH即为所求，结合直角三角形易求之为45°．

解答： 解：（1）因为PD⊥面ABCD，所以PD⊥BC．又底面ABCD为正方形，故BC⊥DC，
又PD∩DC=D，所以BC⊥面PDC．
（2）由（1）得BC⊥面PDC，所以面PBC⊥面PDC于PC．
作DH⊥PC于H，所以DH⊥面PBC．
所以PH就是PD在面PBC内的射影，
故∠DPH即为所求的线面角．
又PD=DA．PD⊥DC，故△PDC为等腰直角三角形．
故∠DPH=45°．
即直线PD与平面PBC所成的角为45°．

点评：本题考查了空间垂直关系的转化以及线面角的求法．前者强调垂直间的转化，后者是先作出该角，然后解直角三角形．