Question

已知复数：z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi（其中x，k∈R），记f（x）=Re（z₁•z₂）
（1）试写出f（x）关于x的函数解析式
（2）若函数f（x）是偶函数，求k的值
（3）求证：对任意实数m，由（2）所得函数y=f（x）的图象与直线y=x+m的图象最多只有一个交点．

Answer 1

解：（1）∵z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi
∴z₁•z₂=[log₂（2^x+1）+ki]•（1-xi）
=[log₂（2^x+1）+kx]+[k-x•log₂（2^x+1）+ki]i
f（x）=Re（z₁•z₂）=log₂（2^x+1）+kx
（2）设定义域R中任意实数，由函数f（x）是偶函数
得：f（-x）=f（x）
log₂（2^x+1）-kx=log₂（2^x+1）+kx
2kx=log₂（）=-x
（2k+1）x=0
得：k=-
证明：（3）由（2）得：f（x）=log₂（2^x+1）-x
联立方程：y=log₂（2^x+1）-x和y=x+m
得：log₂（2^x+1）-x=x+m
即m=log₂（2^x+1）-x
log₂（2^x+1）=x+m=log₂2^（x+m）
得：2^x+1=2^（x+m）
2^x•（2^m-1）=1
若 m=0 方程无解
若 m＜0，2^m-1＜0，2^x＜0方程无解
若m＞0 2^x=
x=log₂
方程有唯一解
对任意实数m，函数y=f（x）的图象与直线y=x+m的图象的交点最多只有一个．
分析：（1）由z₁=log₂（2^x+1）+ki，z₂=1-xi，求出z₁•z₂后，结合f（x）=Re（z₁•z₂），可得f（x）关于x的函数解析式
（2）根据函数f（x）是偶函数，根据偶函数的性质，构造关于k的方程，解方程可求出k的值
（3）由（2）中结论，联立方程y=log₂（2^x+1）-x和y=x+m，即2^x•（2^m-1）=1，分别讨论 m=0，m＜0，m＞0，三种情况下函数y=f（x）的图象与直线y=x+m的图象交点个数，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数解析式的求解方法，根的存在性及根的个数判断，是复数与函数三要素，性质，图象的综合应用，难度较大．