Question

5．某市为鼓励居民节约用电，将实行阶梯电价，该市每户居民每月用电量划分为三档，电价实行分档递增．
第一档电量：用电量不超过200千瓦时，电价标准为0.5元/千瓦时；
第二档电量：用电量超过200但不超过400千瓦时，超出第一档电量的部分，电价标准比第一档电价提高0.1元/千瓦时；
第三档电量：用电量超过400千瓦时，超出第二档电量的部分，电价标准比第一档电价提高0.3元/千瓦时．随机调查了该市1000户居民，获得了他们某月的用电量数据，整理得到如表的频率分布表：

用电量（千瓦时）	[0，100]	（100，200]	（200，300]	（300，400]	（400，500]	合计
频数	200	400	200	b	100	1000
频率	0.2	a	0.2	0.1	c	1

（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b，c的值；
（Ⅱ）从该市调查的1000户居民中随机抽取一户居民，求该户居民用电量不超过300千瓦时的概率；
（Ⅲ）假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估计该市每户居民该月的平均电费．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用调查的1000户居民，求出b，利用频数与总数的比值直接求解a，c的值；
（Ⅱ）从该市调查的1000户居民中随机抽取一户居民，用电量不超过300千瓦时的有200+400+200=800户，然后求解该户居民用电量不超过300千瓦时的概率；
（Ⅲ）同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，然后求解该市每户居民该月的平均电费．

解答 （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）a=0.4，b=100，c=0.1．…（3分）
（Ⅱ）设“该户居民月用电量不超过300千瓦时”为事件A．…（4分）
由表可知：共调查了1000户居民，用电量不超过300千瓦时的有200+400+200=800户，用电量超过300千瓦时的有100+100=200户，
所以该居民月用电量不超过300千瓦时的概率$P（A）=\frac{800}{1000}=\frac{4}{5}$．…（8分）
（Ⅲ）由用电量的频率分布表和题意，得居民该月用电费用的数据分组与频率分布表：

用电量（千瓦时）	[0，100]	（100，200]	（200，300]	（300，400]	（400，500]
用电费用	[0，50]	（50，100]	（100，160]	（160，220]	（220，300]
频率	0.2	0.4	0.2	0.1	0.1

根据题意，该市每户居民该月的平均电费为：25×0.2+75×0.4+130×0.2+190×0.1+260×0.1=106（元）…（13分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，考查计算能力，是基础题．