Question

（附加题，10分）已知函数，数列满足，且．
（1）试探究数列是否是等比数列？（5分）
（2）试证明.（5分）

Answer 1

（1）数列是首项为，公比为的等比数列. （2）证明：见解析。

本试题主要是考查了等比数列的定义和运用数列的求和证明不等式的运用。
（1）由已知的关系式化简变形得到数列的递推关系，然后分析证明得到。
（2）由（1）知数列是首项为1，公比为的等比数列
得到通项公式，进而分析求和，得到证明。
解：（1）由得
，即 ----------1分
∴或      ∵，∴不合舍去.
由得，，（）--------3分
∴，
∴数列是首项为，公比为的等比数列. -------------------5分
（2）证明：由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列
∴，∴， ------------------6分
∴＝    ---8分
∵对有，
∴，∴，即 ---10分