Question

1．如图所示，设计一个四棱锥形冷水塔塔顶，四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，已知底面边长为2m，高为$\sqrt{7}$m，求证：
（1）制造这个塔顶需要多少铁板；       
（2）求该铁塔的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC和BD交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．在Rt△SOP中，SO=$\sqrt{7}$（m），OP=$\frac{1}{2}$BC=1，所以SP=2$\sqrt{2}$，由此能求出制造这个塔顶需要多少铁板．
（2）利用棱锥的体积公式，即可得出结论．

解答 解：（1）如图所示，连接AC和BD交于O，连接SO．作SP⊥AB，连接OP．
在Rt△SOP中，SO=$\sqrt{7}$（m），OP=$\frac{1}{2}$BC=1（m），
所以SP=2$\sqrt{2}$（m），
则△SAB的面积是$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$（m²）．
所以四棱锥的侧面积是4×2$\sqrt{2}$=8$\sqrt{2}$（m²），
即制造这个塔顶需要8$\sqrt{2}$m²铁板．
（2）铁塔的体积V=$\frac{1}{3}×2×2×\sqrt{7}$=$\frac{4\sqrt{7}}{3}$m³．

点评 本题考查四棱锥的侧面积、体积的应用，考查空间思维能力和空间想象能力，考查学生的计算能力，属于中档题．