Question

已知抛物线y²=-16x的焦点为F₁，准线与x轴的交点为F₂，在直线l：x+y-8=0上找一点M，求以F₁，F₂为焦点，经过点M且长轴最短的椭圆方程．

Answer 1

分析：由题设条件可知：F₁（-4，0），F₂（4，0），设F₂（4，0）关于直线l：x+y-8=0的对称点为F₂′（x₀，y₀），根据对称的有关知识可得F₂′（8，4）．连接F₁F₂′交直线L于一点，此点即为所求的点M．此时|MF₁|+|MF₂|取得最小值，并且求出最小值，进而得到2a=4

10

∴a=2

10

，即可求出椭圆的方程．

解答：解：由题设条件可知：F₁（-4，0），F₂（4，0）
设F₂（4，0）关于直线l：x+y-8=0的对称点为F₂′（x₀，y₀），
则有

y0 x0-4 =1 x0+4 2 + y0 2 -8=0

⇒

x0=8 y0=4

，所以F₂′（8，4）．
连接F₁F₂′交直线L于一点，此点即为所求的点M．
此时|MF₁|+|MF₂|取得最小值，并且其最小值等于|F1F2′|=

(8+4)2+42

=4

10

设所求椭圆方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
所以椭圆长轴长的最小值为4

10

，即2a=4

10

∴a=2

10

，
又因为c=4，所以b²=a²-c²=40-16=24
所以所求椭圆方程为：

x2

40

+

y2

24

=1

点评：本题主要考查利用对称性解决最值问题，以及考查椭圆的标准方程．