Question

设复数β=x+yi（x，y∈R）与复平面上点P（x，y）对应，且复数β满足条件|β+3|+（-1）ⁿ|β-3|=3a+（-1）ⁿa（其中n∈N^*．常数a∈(

3

2

，3)），当n为奇数时，动点P（x，y）的轨迹为C₁，当n为偶数时，动点P（x，y）的轨迹为C₂，且两条曲线都经过点D（2，

2

），求轨迹C₁与C₂的方程？

Answer 1

分析：当n为奇数时，原等式可变形为，|β+3|-|β-3|=2a，当n为偶数时，原等式可变形为|β+3|+|β-3|=4a，代入点的坐标后联立两轨迹方程求解a的值，则答案可求．

解答：解：方法1：①当n为奇数时，|β+3|-|β-3|=2a，常数a∈ (

3

2

 ， 3)，
轨迹C₁为双曲线，其方程为

x2

a2

-

y2

9-a2

=1；
②当n为偶数时，|β+3|+|β-3|=4a，常数a∈ (

3

2

 ， 3)，
轨迹C₂为椭圆，其方程为

x2

4a2

+

y2

4a2-9

=1；
依题意得方程组

4 4a2 + 2 4a2-9 =1 4 a2 - 2 9-a2 =1

⇒

4a4-45a2+99=0 a4-15a2+36=0

解得a²=3，
因为

3

2

＜a＜3，所以a=

3

，
此时轨迹为C₁与C₂的方程分别是：

x2

3

-

y2

6

=1，

x2

12

+

y2

3

=1．
方法2：依题意得

|β+3|+|β-3|=4a |β+3|-|β-3|=2a

⇒

|β+3|=3a |β-3|=a

轨迹为C₁与C₂都经过点D(2，

2

)，且点D(2，

2

)对应的复数β=2+

2

i，
代入上式得a=

3

，
即|β+3|-|β-3|=2

3

对应的轨迹C₁是双曲线，方程为

x2

3

-

y2

6

=1；
|β+3|+|β-3|=4

3

对应的轨迹C₂是椭圆，方程为

x2

12

+

y2

3

=1．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了方程组的解法，是中档题．