Question

各项都为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2(Sn+1)=an2+an．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n，数列{c_n}满足cn=

an (n为奇数) bn (n为偶数)

，数列{c_n}的前n项和为T_n，当n为偶数时，求T_n；
（Ⅲ）同学甲利用第（Ⅱ）问中的T_n设计了一个程序如图，但同学乙认为这个程序如果被执行会是一个“死循环”（即程序会永远循环下去，而无法结束）．你是否同意同学乙的观点？请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由题意及2（S_n+1）=a_n²+a_n（n∈N^*），令n=1，求得数列的首项，再利用已知数列的前n项和与通项之间的关系，即可求出数列的通项；
（II）数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=2b_n（n∈N^*），可以求出数列b_n的通项公式，再有数列{c_n}满足cn=

an，n=2k-1 bn，n=2k

(k∈N*)，利用分组求和求出数列c_n的前n项的和；
（III）由题意及（2）可知n为偶数，即dn=Tn-Pn=

4

3

•2n-

47

2

n-

4

3

，由于d_n+2-d_n=2ⁿ⁺²-47分析该式即可．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，由2(S1+1)=a12+a1，解得a₁=2，
当n≥2时，由2(Sn+1)=an2+an，得2(Sn-1+1)=an-12+an-1．
两式相减，并利用a_n=S_n-S_n-1，求得a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列．∴a_n=n+1（n∈N^*）．
（Ⅱ）∵{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴bn=2n．
当n为偶数时，Tn=(a1+a3+…+an-1)+(22+24+…+2n)=

a1+an-1

2

•

n

2

+

4(1-2n)

1-4

=

n2+2n

4

+

4

3

(2n-1)．
（Ⅲ）∵Pn=

n2

4

+24n（n为偶数），设dn=Tn-Pn=

4

3

•2n-

47

2

n-

4

3

（n为偶数），
∴d₄＜d₆＜d₈＜d₁₀＜2007＜d₁₂＜d₁₄＜…．且d₂＜2007，（利用数列的单调性或函数的单调性判断）
∴d_n≠2007，即T_n-P_n≠2007（n为偶数）．
因此同学乙的观点正确．

点评：此题以程序图为载体考查数列的性质和应用，考查了已知数列的前n项和求数列的通项，等比数列的定义及通项公式，还考查了学生分类讨论的思想．解题时要认真审题，仔细解答．