Question

（2008•宝坻区一模）已知数列{a_n}满足a_n=2•a_n-1+2ⁿ-1（n≥2），且a₄=81．
（1）求数列的前三项：a₁，a₂，a₃；
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{

an+λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）直接根据条件a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2），a₄=81先求出a₃的值，然后依此类推出a₂，a₁的值；
（2）先假设其存在，然后根据等差数列对应的相邻两项的差为常数即可求出λ的值；
（3）先根据（2）的结论求出数列{a_n}的通项公式，再借助于分组求和以及错位相减求和即可求出结论．

解答：解：（1）由an=2an-1+2n-1(≥2)⇒a4=2a3+24-1=81⇒a3=33
同理可得    a₂=13，a₁=5．（3分）
（2）假设存在的实数λ符合题意，则

an+λ

2n

-

an-1+λ

2n-1

=

an-2an-1-λ

2n

=

2n-1-λ

2n

=1-

1+λ

2n

必是与n无关的常数，则

1+λ

2n

=0⇒λ=-1．（7分）
故存在实数λ=-1，使得数列{

1+λ

2n

}为等差数列．
（3）由（2）知数列{

an-1

2n

}是公差d=1的等差数列∴

an-1

2n

=

a1-1

2

+(n-1)×1=n+1⇒an=(n+1)•2n+1（9分）
S_n=n+2×2+3×2²+4×2³+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹
2S_n=2n+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺²⇒相减整理得：S_n=n（2ⁿ⁺¹+1）（12分）

点评：本题主要考查了利用数列的递推式求数列的特定项以及数列的求和问题，本题涉及到数列求和的分组法以及错位相减法，错位相减法适用于一等差数列与一等比数列相乘组成的新数列，属于中档题．