Question

设直线l：x－y＋m＝0与抛物线C：y²＝4x交于不同两点A，B，F为抛物线的焦点．
(1)求△ABF的重心G的轨迹方程；
(2)如果m＝－2，求△ABF的外接圆的方程．

Answer 1

(1)y＝(2)²＋²＝

(1)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，F(1,0)，重心G(x，y)，
⇒y²－4y＋4m＝0，
∴Δ>0⇒m<1且m≠－1(A，B，F不共线)，
故
∴重心G的轨迹方程为y＝.
(2)若m＝－2，则y²－4y－8＝0，设AB中点为(x₀，y₀，)
∴y₀＝＝2，∴x₀＝y₀－m＝2－m＝4，
那么AB的中垂线方程为x＋y－6＝0，
令△ABF的外接圆圆心为C(a,6－a)，
又|AB|＝|y₁－y₂|＝4，C到AB的距离为d＝，∴|CA|＝|CF|⇒(2)²＋²＝(a－1)²＋(6－a)²⇒a＝，
∴C点的坐标为，∴|CF|²＝²＋²＝，
∴所求的圆的方程为²＋²＝.