Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

3

=1，直线l：y=-2x+m，椭圆C上是否存在两点A、B关于直线l对称？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：假设在椭圆C上存在两点A、B关于直线l对称．设直线AB的方程为：y=

1

2

x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．与椭圆方程联立可得x²+tx+t²-3=0，利用△＞0及根与系数的关系即可得出．

解答： 解：假设在椭圆C上存在两点A、B关于直线l对称．
设直线AB的方程为：y=

1

2

x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），线段AB的中点M（x₀，y₀）．
联立

y= 1 2 x+t x2 4 + y2 3 =1

，化为x²+tx+t²-3=0，
△=t²-4（t²-3）＞0，化为t²＜4（*）．
∴x1+x2=-

t

2

．
∴x₀=-

t

4

，y₀=

1

2

×(-

t

4

)+t=

7t

8

．
代入y=-2x+m可得

7t

8

=-2×(-

t

4

)+m，解得t=

8

3

m．
代入（*）可得(

8

3

m)2＜4，
解得-

3

4

＜m＜

3

4

．
∴当m∈(-

3

4

，

3

4

)时，在椭圆C上存在两点A、B关于直线l对称．

点评：本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、△＞0、中点坐标公式，考查了椭圆的对称性、线段垂直平分线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．