Question

已知数列{}满足a₁=0，a₂=2，且对任意m、n∈N*都有a_2m﹣1+a_2n﹣1=2a_m+n﹣1+2（m﹣n）²
（1）求a₃，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1（n∈N*），证明：{b_n}是等差数列；
（3）设c_n=（₊₁﹣）q^n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a₃=2a₂﹣a₁+2=6
再令m=3，n=1，可得a₅=2a₃﹣a₁+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得a_2n+3+a_2n﹣1=2a_2n+1+8
于是[a_2（n+1）+1﹣a_{2（n+1）﹣1}]﹣（a_2n+1﹣a_2n﹣1）=8即b_n+1﹣b_n=8
所以{b_n}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{b_n}是首项为b₁=a₃﹣a₁=6，公差为8的等差数列
则b_n=8n﹣2，即a_2n+1﹣a_2n﹣1=8n﹣2
另由已知（令m=1）可得=﹣（n﹣1）²．
那么₊₁﹣=﹣2n+1=﹣2n+1=2n
于是c_n=2nq^n﹣1．
当q=1时，S_n=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，S_n=2q⁰+4q¹+6q²++2nq^n﹣1．两边同乘以q，
可得qS_n=2q¹+4q²+6q³++2nqⁿ．
上述两式相减得（1﹣q）S_n=2（1+q+q²++q^n﹣1）﹣2nqⁿ=2﹣2nqⁿ
=2
所以S_n=2
综上所述，S_n=