Question

若，，，为常数，且

（Ⅰ）求对所有实数成立的充要条件（用表示）；

（Ⅱ）设为两实数，且,若

求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）．

Answer 1

解：（Ⅰ）恒成立

;

（*）

因为,

所以，故只需（*）恒成立.

综上所述，对所有实数成立的充要条件是.   ………4分    

（Ⅱ）1°如果，则的图象关于直线对称．因为，所以区间关于直线 对称．

因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为.   ………6分

2°如果.

（1）当时.，

当，因为，所以，故=.

当，因为，所以，故=.

因为，所以，所以即

.

当时，令，则，所以，

当时，，所以=;

时，，所以=.

在区间上的单调增区间的长度和

=.                        …………10分

（2）当时.，

当，因为，所以，故=.

当，因为，所以，故=.

因为，所以，所以.

当时，令，则，所以，

当时， ，所以=;

时，，所以=;

在区间上的单调增区间的长度和

=.

综上得在区间上的单调增区间的长度和为.              …………14分