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    如下图,某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.

    （1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？

    （2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为lh，柱体体积为底面积乘以高.结果精确到0.1 m）

    解析:当最大拱高h为定值时,隧道设计的拱宽l即为2a；当最大拱高h为变量时,可根据均值定理,得到椭圆面积为最小.

    解:（1）如图建立坐标系,则点P(11,4.5),椭圆方程为=1.将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程,得a=,l=2a=≈33.3.故隧道的拱宽约为33.3 m.?

    （2）由椭圆方程=1,得=1.?

    因为≥

    即ab≥99,且l=2a,h=b,?

    所以S=lh=≥.?

    当S取最小值时,有,得a=11,b=,此时,l=2a=22≈31.1,h=b≈6.4.?

    故当拱高约为6.4 m,拱宽约为31.1 m时,土方工程量最小.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源：湖南师大附中2011－2012学年高二12月阶段检测数学理科试题 题型：044

    如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

    (1)若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？

    (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？

    (已知：椭圆＋＝1的面积公式为S＝πab，柱体体积为底面积乘以高．)

    (3)为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5 m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l＝30 m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价与梯形顶部单位面积钢板造价相同且为定值，试确定M、N的位置以及h的值，使总造价最少．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （本小题满分12分）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

    （1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？

    （2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？

    （已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高.）

    （3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少.

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