Question

（本小题满分12分）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20 m，要求通行车辆限高5 m，隧道全长2.5 km，隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆．

（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？

（2）若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高h和拱宽l？

（已知：椭圆+=1的面积公式为S=，柱体体积为底面积乘以高.）

（3）为了使隧道内部美观，要求在拱线上找两个点M、N，使它们所在位置的高度恰好是限高5m，现以M、N以及椭圆的左、右顶点为支点，用合金钢板把隧道拱线部分连接封闭，形成一个梯形，若l=30m，梯形两腰所在侧面单位面积的钢板造价是梯形顶部单位面积钢板造价的倍，试确定M、N的位置以及的值，使总造价最少.

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   拱高为(+3)m、拱宽为20m（Ⅲ）

解析:

如下图建立直角坐标系，则点P（10， 2），

椭圆方程为+=1.将b=h-3=3与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=,因此隧道的拱宽约为 m.

（2） 要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，由柱体的体积公式可知：只需半椭

圆的面积最小即可．由椭圆方程+=1，得+=1.因为+≥，即ab≥40，所以半椭圆面积S=≥当S取最小值时，有==，得a=10，b=.

此时l=2a=20，  h=b+3=+3…故当拱高为(+3)m、拱宽为20m时，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小……13分

（3）根据题意设

       设 

则

令，，

且时，

∴时，取最小值，此时,代入椭圆方程得

∴