已知公比为q的无穷等比数列{an}的首项a1=1．(1)若q=13.在a1与a2之间插入k个数b1.b2.-.bk.使得a1.b1.b2.-.bk.a2.a3成等差数列.求这k个数,(2)对于任意给定的正整数m.在a1.a2.a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数.构成一个等差数列.求公比q的所有可能取值的集合,(3)当且仅当q取何值时.在数列{an}� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{a_n}的首项a₁=1．
（1）若q=

，在a₁与a₂之间插入k个数b₁，b₂，…，b_k，使得a₁，b₁，b₂，…，b_k，a₂，a₃成等差数列，求这k个数；
（2）对于任意给定的正整数m，在a₁，a₂，a₃的a₁与a₂和a₂与a₃之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；
（3）当且仅当q取何值时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c₁的所有可能值的集合及{c_n}的通项公式（用q表示）．

考点：数列的应用

专题：压轴题,等差数列与等比数列

分析：（1）由条件得1，b₁，b₂，…b_k，

，

成等差数列，求出公差d=-

，k=2，即可求这2个数；
（2）设a₁与a₂之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a₂与a₃之间插入（m-k）个数，由条件这等差数列第一项为a₁=1，第k+2项为a₂=q，第m+3项为a₂=q²，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列，再进行证明即可．

解答： 解：（1）由条件得1，b₁，b₂，…b_k，

，

成等差数列，
所以公差d=-

，k=2，
所以这2个数为：b₁=

，b₂=

； …（2分）
（2）设a₁与a₂之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a₂与a₃之间插入（m-k）个数，
由条件这等差数列第一项为a₁=1，第k+2项为a₂=q，第m+3项为a₂=q²，
所以

q-1

k+1

q2-q

m-k+1

，q≠1，
所以q=

m-k+1

k+1

，且 k≠

；
所以公比q的所有可能的取值的集合{ q|q=

m-k+1

k+1

，k∈N，k≤m且k≠

}；…（6分）
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列；
证明如下：
（i）当q∈N，且q≥2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，…，显然满足条件； …（8分）
（ii）若在数列{a_n}的每相邻两项a_k，a_k+1之间插入c_k（k∈N^*，c_k∈N）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为{b_n}，则对于任意的k∈N^*，都有

ak+1-ak

ck+1

ak+2-ak+1

ck+1+1

，
即

qk-qk-1

ck+1

qk+1-qk

ck+1+1

，q≠1且q≠0，
所以q=

ck+1+1

ck+1

，c_k+1，c_k∈N，
所以q为正有理数，{a_n}为正项无穷等比数列，
若q不为整数，不妨设q=

，其中p，t∈N^*，p与t互质，且p≥2，
等差数列{b_n}的公差为d=

c1+1

t-p

(c1+1)p

，通项为b_n=1+（n-1）

t-p

(c1+1)p

；
则数列{（c₁+1）pb_n}的各项都为整数，
则对于任意的n∈N^*，（c₁+1）p a_n∈N^*，
即对于任意的n∈N^*，（c₁+1）p（

）^n-1∈N^*，
即于任意的n∈N^*，由p与t互质，则（c₁+1）p都能被p^n-1整除，p≥2，且p∈N^*，
这是不可能的，
所以q为正整数，又q≠1，
所以q∈N，且q≥2； …（12分）
当q∈N，且q≥2时，
对于首项为1，第（c₁+1）项为q的等差数列{b_n}，则公差d=

q-1

c1+1

，
令a_n=b_m，即q ^n-1=1+（m-1）

q-1

c1+1

（n∈N^*），
有m=（c₁+1）

qn-1-1

q-1

+1∈N^*，
所以a_n是{b_n}中的第[（c₁+1）

qn-1-1

q-1

+1]项，
所以c₁的所有可能值的集合是自然数集N； …（14分）
对于任意的自然数c₁，
由

cn+1+1

cn+1

=q，q∈N，n∈N^*且q≥2知{c_n+1}是首项为c₁+1，公比为q的等比数列，
所以{c_n}的通项公式为c_n=（c₁+1）q^n-1-1． …（16分）

点评：本题考查的是数列的应用，考查等差数列与等比数列的综合，考查反证法思想的运用，难度大，学生很难解决．

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