Question

15．已知f（x）为二次函数，且有f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x
（1）求f（x）
（2）$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$当时，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，假设二次函数，结合f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，即可求出函数的解析式；
（2）先求出函数的对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．

解答 解：（1）设f（x）=ax²+bx+c，因为f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+c+a（x-1）²+b（x-1）+c=2x²-4x
所以2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x…（3分）
故有 $\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{2b=-4}\\{2a+2c=0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-2x-1；…（6分）
（2）由（1）得：f（x）=（x-1）²-2，
对称轴x=1，开口向上，
∴f（x）在[$\frac{1}{2}$，1]递减，在[1，2]递增，
∴f（x）_max=f（2）=-1，f（x）_min=f（1）=-2．…（12分）

点评 本题考查了求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，函数的单调性、最值问题，是一道中档题．