Question

6．某质点A从时刻t=0开始沿某方向运动的位移为：S（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{3}-6{t}^{2}+9t（0≤t＜4）}\\{{t}^{2}-10t+28（t≥4）}\end{array}\right.$
（1）比较质点A在时刻t=3与t=5的瞬时速度大小；
（2）若另一个质点B也从时刻t=0开始沿与A相同的方向从同一个地点匀速运动，运动速度为$\frac{15}{4}$，质点B何时领先于质点A最远？并且求此最远距离．

Answer 1

分析 （1）分段求出函数的导数，再代值计算比较即可；
（2）表示出质点B领先于质点A的距离为S₂（t）的函数关系式，并求导，利用函数的单调性求出函数的最值．

解答 解：（1）当0≤t＜4时，S′（t）=3t²-12t+9，
S′（3）=3×9-12×3+9=0，
当t＞4时，S′（t）=2t-10，S′（5）=2×5-10=0，
所以质点A在时刻t=3与t=5的瞬时速度大小相等；
（2）质点B的位移为S₁（t）=$\frac{15}{4}$t，
质点B领先于质点A的距离为S₂（t）=S₁（t）-s（t）=$\left\{\begin{array}{l}{-{t}^{3}+6{t}^{2}-\frac{21}{4}t，（0≤t＜4）}\\{-{t}^{2}+\frac{55}{4}t-28，（t≥4）}\end{array}\right.$，
当0≤t＜4时，S′（t）=3t²-12t-$\frac{21}{4}$，
令S′（t）=0，则t=$\frac{1}{2}$或t=$\frac{7}{2}$，
可知S₂（t）在[0，$\frac{1}{2}$）和（$\frac{7}{2}$，4]上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，$\frac{7}{2}$）上单调递增，
并且S₂（0）=0，S₂（$\frac{7}{2}$）=$\frac{49}{4}$，
当t≥4时，S₂（t）在t=$\frac{55}{8}$处取得最大值为S₂（$\frac{55}{8}$）=$\frac{1233}{64}$．

点评 本题考查了导数在实际问题中的应用，关键是导数和函数的单调性和最值的关系，属于中档题．