Question

17．已知p：函数f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$在（m，2m）上是单调函数；q：“x²-3x≤0”是“x²-2mx-3m²≤0”的充分不必要条件，若p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 对于p：f′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x-2）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，可得当x＞3时，函数f（x）单调递减；当x＜3时，函数f（x）单调递增．由于函数f（x）在（m，2m）（m＞0）上是单调函数，可得m≥3或0＜2m≤3，解得m范围．对于q：由x²-3x≤0解得0≤x≤3，
由x²-2mx-3m²≤0化为（x+m）（x-3m）≤0，对m分类讨论：当m＞0时，解得-m≤x≤3m；当m=0时，解得x=0；当m＜0时，解得3m≤x≤-m．根据“x²-3x≤0”是“x²-2mx-3m²≤0”的充分不必要条件，可得$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3≤3m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{3≤-m}\end{array}\right.$．若p∨q为真，p∧q为假，则p与q必然一真一假．解出即可．

解答 解：对于p：函数f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}-（x-2）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{3-x}{{e}^{x}}$，可得当x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＜3时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．
∵函数f（x）在（m，2m）（m＞0）上是单调函数，∴m≥3或0＜2m≤3，解得m≥3或$0＜m≤\frac{3}{2}$．
对于q：由x²-3x≤0解得0≤x≤3，
由x²-2mx-3m²≤0化为（x+m）（x-3m）≤0，当m＞0时，解得-m≤x≤3m；当m=0时，解得x=0；当m＜0时，解得3m≤x≤-m．
∵“x²-3x≤0”是“x²-2mx-3m²≤0”的充分不必要条件，∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{3≤3m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{3≤-m}\end{array}\right.$，
解得m≥1或m≤-3．
若p∨q为真，p∧q为假，则p与q必然一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{m≥3或0＜m≤\frac{3}{2}}\\{-3＜m＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}＜m＜3或m≤0}\\{m≤-3或m≥1}\end{array}\right.$，
解得0＜m＜1，或$\frac{3}{2}＜m＜3$，或m≤-3．
∴实数m的取值范围是m≤-3，或0＜m＜1，或$\frac{3}{2}$＜m＜3．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性、一元二次不等式解法、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．