Question

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C=$\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若2sinB+2sin（A-C）=$\sqrt{3}$，求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的周长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意和内角和定理表示出B，代入已知的式子利用两角差的正弦公式化简，求出sinA的值，由内角的范围求出角A的值；
（Ⅱ）由题意和三角形的面积公式列出方程求出ab的值，由余弦定理列出方程化简，即可求出a+b的值，再求出△ABC的周长．

解答 解：（Ⅰ）由C=$\frac{π}{3}$得A+B=π-C=$\frac{2π}{3}$，则B=$\frac{2π}{3}$-A，
因为2sinB+2sin（A-C）=$\sqrt{3}$，
所以2sin（$\frac{2π}{3}$-A）+2sin（A-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
则2（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA+$\frac{1}{2}$sinA）+2（$\frac{1}{2}$sinA-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）=$\sqrt{3}$，
化简得，sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜A＜π得A=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$，
因为C=$\frac{π}{3}$，所以$A=\frac{π}{3}$；…（7分） 
（Ⅱ）以为C=$\frac{π}{3}$，△ABC的面积为2$\sqrt{3}$，
所以S=$\frac{1}{2}absinC=2\sqrt{3}$，则ab=8，
因为c=2$\sqrt{3}$，所以由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC，
则12=a²+b²-ab，即a²+b²=12+8=20，
所以a+b=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}$=$\sqrt{20+16}$=6，
即△ABC的周长是$6+2\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题考查余弦定理，两角差的正弦公式，以及三角形的面积公式，注意内角的范围，属于中档题．