Question

14．求下列函数的解析式
（1）（请用两种方法）若$f（\sqrt{x}+1）=x+2\sqrt{x}$，求f（x）；
（2）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x+3，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）利用配凑法、换元法，可得函数解析式；
（2）利用待定系数法即可得到结论．

解答 解：（1）法1：$f（\sqrt{x}+1）=x+2\sqrt{x}$=$（\sqrt{x}+1）^{2}-1$，∴f（x）=x²-1（x≥1）；
法2：设t=$\sqrt{x}$+1（t≥1），则f（t）=（t-1）²+2（t-1）=t²-1，
∴f（x）=x²-1（x≥1）；
（2）∵y=f（x）是一次函数，∴设f（x）=ax+b，a≠0，
则f[f（x）]=a（ax+b）+b=a²x+ab+b=4x+3，
则a²=4，ab+b=3，
若a=2，则b=1，若a=-2，则b=-3，
即f（x）=2x+1或-2x-3．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用配凑法、换元法、待定系数法是解决本题的关键．