Question

已知抛物线y²=8x，过M（2，3）作直线l交抛物线于A、B．
（1）求以M（2，3）为中点的弦AB所在直线l的方程．
（2）设AB的中点为N，求N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）由题知l的斜率存在设斜率为且k≠0，根据

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2，又

y1+y2

2

=3，可得k=

y1-y2

x1-x2

的值，点斜式求得AB所在直线l的方程．
（2）设AB的中点N（x₀，y₀ ），由中点公式及 y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，求出l的斜率k=

4

y0

，再根据中点N（x₀，y₀）在直线l上，得到y₀²-4x₀-3y₀+8=0，当直线l斜率不存在时，中点为（2，0）满足上述方程，从而得到中点N的轨迹方程为：y²-4x-3y+8=0．

解答：解：（1）由题知l的斜率存在设斜率为且k≠0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∵A、B在y²=8x上，
∴

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2，又

y1+y2

2

=3，
∴由 （y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），可得  k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=

4

3

，
故AB所在直线l的方程为：y-3=

4

3

 （x-2），即  4x-3y+1=0． 
（2）设AB的中点N（x₀，y₀ ），A（x₁，y₁） B （x₂，y₂），∴x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

．
当l斜率存在时，设斜率为k，直线方程为：y-3=k（x-2），∵A、B在y²=8x上，
∴y₁²=8x₁，y₂²=8x₂，∴（y₁+y₂）（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），∴k=

y1-y2

x1-x2

=

8

y1+y2

=

4

y0

．
由N（x₀，y₀）在直线l上，∴y0-3=

4

y0

(x0-2)，即

y

2 0

-4x0-3y0+8=0，
又当直线l斜率不存在时，直线方程为x=2，中点为（2，0）满足上述方程，
所以，所求中点N的轨迹方程为：y²-4x-3y+8=0．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，轨迹方程的求法，体现了分类讨论的数学思想，求出直线的斜率，是
解题的关键．