Question

求点A（0，2）到椭圆

x2

4

+y²=1上的动点的距离的最大值和最小值．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的求值,圆锥曲线的定义、性质与方程,坐标系和参数方程

分析：设出椭圆的参数方程，表示出动点B坐标，利用两点间的距离公式表示出距离|AB|，利用二次函数的性质及正弦函数的定义域与值域，即可确定出距离|AB|的最值．

解答： 解：根据椭圆方程，设动点B（2cosθ，sinθ），
∴|AB|²=（2cosθ）²+（sinθ-2）²=4cos²θ+sin²θ-4sinθ+4=-3（sinθ+

2

3

）²+

28

3

，
当sinθ=-

2

3

时，-3（sinθ+

2

3

）²+

28

3

最大，即|AB|²最大值为

28

3

，
则|AB|的最大值为

2 21

3

．
当sinθ=-1，则|AB|²=9，当sinθ=1，则|AB|²=1，则|AB|的最小值为1．
综上，距离的最大值是

2 21

3

，最小值是1．

点评：此题考查了椭圆的参数方程及运用，正弦函数的定义域与值域，二次函数的性质，以及两点间的距离公式，熟练掌握公式是解本题的关键．