Question

【题目】已知椭圆的上、下、左、右四个顶点分别为x轴正半轴上的某点满足.

(1)求椭圆的方程;

(2)设该椭圆的左、右焦点分别为,点在圆上,且在第一象限,过作圆的切线交椭圆于,求证:△的周长是定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】试题分析：

(1) 设点的坐标为可知，可得椭圆方程;(2)法一:设，结合椭圆方程可得，在圆中, 是切点, ，同理可得,则易得结论;法二:设 的方程为，联立椭圆方程,由根与系数的关系式,结合弦长公式求出，再求出，则结论易得.

试题解析：

(1)设点G的坐标为,可知,

.

因此椭圆的方程是.

(2)方法1:设,则,

=,

∵,∴,

在圆中, 是切点,

∴==,

∴,

同理,∴,

因此△的周长是定值．

方法2:设的方程为,

由,得,

设,则,

∴==

=

,

∵与圆相切,∴,即,

∴,

∵,

∵,∴,

同理可得,

∴,

因此△的周长是定值．