Question

7．点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是$\frac{4}{9}$，则点M的轨迹方程是（　　）

• A． $\frac{x^2}{25}+\frac{{9{y^2}}}{100}=1（x≠±5）$
• B． $\frac{x^2}{25}+\frac{{100{y^2}}}{9}=1（x≠±5）$
• C． $\frac{x^2}{25}-\frac{{9{y^2}}}{100}=1（y≠0）$
• D． $\frac{x^2}{25}-\frac{{100{y^2}}}{9}=1（y≠0）$

Answer 1

分析 设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是$\frac{4}{9}$，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程．

解答 解：设M（x，y），因为A（-5，0），B（5，0）
所以k_AM=$\frac{y}{x+5}$（x≠-5），k_BM=$\frac{y}{x-5}$（x≠5）
由已知，$\frac{y}{x+5}•\frac{y}{x-5}$=$\frac{4}{9}$
化简，得4x²-9y²=100（x≠±5）
即：$\frac{{x}^{2}}{25}-\frac{9{y}^{2}}{100}=1（y≠0）$．
故选：C．

点评 本题重点考查轨迹方程的求解，解题的关键是正确表示出直线AM、BM的斜率，利用条件建立方程．