Question

已知椭圆C的焦点在x轴上，过椭圆C的右焦点F（C，0）作两直线AC和BD，它们分别交椭圆于A、B、C、D．且

AC

•

BD

=0，沿AC直线的方向向量为（cosθ，sinθ）．
（1）用a，b，c，θ表示四边形ABCD的面积；
（2）若已知四边形ABCD面积最小值为8，最大值为

25

2

，求椭圆C的方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据已知条件可知直线AC的斜率为

sinθ

cosθ

，所以可写出直线AC的方程：y=

sinθ

cosθ

(x-c)，设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），联立直线方程和椭圆方程可求出x₁+x₂，x₁x₂，所以可求出|AC|并化简得，|AC|=

2ab2

a2-c2cos2θ

，同理|BD|=

2ab2

a2-c2sin2θ

，所以四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC||BD|=

8a2b4

4a2b2+c4sin22θ

；
（2）由S知sin2θ=0时，Smax=

8a2b4

4a2b2

=2b2=

25

2

，这样可求出b，再根据sin2θ=1时，S取最大值求出a，这样便可求出椭圆的方程．

解答： 解：（1）设直线AC的方程为：y=

sinθ

cosθ

(x-c)，带入椭圆方程

x2

a2

+

y2

b2

=1中并整理得：
（b²cos²θ+a²sin²θ）x²-2a²csin²θx+a²c²sin²θ-a²b²cos²θ=0；
设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则：x1+x2=

2a2csin2θ

b2cos2θ+a2sin2θ

，x1x2=

a2c2sin2θ-a2b2cos2θ

b2cos2θ+a2sin2θ

；
∴|AC|=

1+ sin2θ cos2θ

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1 cos2θ

•

4a4c2sin4θ (b2cos2θ+a2sin2θ)2 - 4a2c2sin2θ-4a2b2cos2θ b2cos2θ+a2sin2θ

=

2ab2

b2cos2θ+a2sin2θ

=

2ab2

a2-c2cos2θ

；
直线BD和AC垂直，所以直线BD的斜率为-

cosθ

sinθ

，同理可得|BD|=

2ab2

a2-c2sin2θ

；
∴四边形ABCD的面积S=

1

2

|AC||BD|=

2a2b4

(a2-c2cos2θ)(a2-c2sin2θ)

=

2a2b4

a2b2+ c4sin22θ 4

=

8a2b4

4a2b2+c4sin22θ

；
（2）S_ABCD当sin2θ=0，即θ=0时取最大值

8a2b4

4a2b2

=2b2=

25

2

，∴b=

5

2

；
sin2θ=1，即θ=

π

4

时取最小值

8a2b4

4a2b2+c4

=8，解得a=5；
∴椭圆的方程为：

x2

25

+

4y2

25

=1．

点评：考查直线的方向向量和直线斜率的关系，直线的点斜式方程，直线和椭圆的交点和对应方程组解的关系，韦达定理，弦长公式，椭圆标准方程中a，b，c三个参数的关系，以及函数的最值．