Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，PA=AB=2CD=2BC=2，PB=2$\sqrt{2}$，PD=$\sqrt{6}$，E为PD上一点．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；．
（Ⅱ）若三棱锥E-ACD的体积为$\frac{1}{6}$，求点E到平面PAB的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用勾股定理证明PA⊥AB，PA⊥AD，利用线面垂直的判定定理，即可证明PA⊥平面ABCD；．
（Ⅱ）过点E作EM⊥AD于点M，利用三棱锥E-ACD的体积为$\frac{1}{6}$，求出EM，再求点E到平面PAB的距离．

解答 （Ⅰ）证明：△PAB中，PA=2，AB=2，PB=2$\sqrt{2}$，
∴PA²+AB²=PB²，
∴PA⊥AB，
同理PA⊥AD，
∵AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：过点E作EM⊥AD于点M，则EM∥PA，

∵PA⊥平面ABCD，
∴EM⊥平面ABCD，
∵S_△ACD=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×EM$=$\frac{1}{6}$，
∴EM=1，
∴E为PD中点，
∴点E到平面PAB的距离是点D到平面PAB的距离的$\frac{1}{2}$，
∵DC∥平面PAB，BC⊥平面PAB，BC=1，
∴点D到平面PAB的距离是1，
∴点E到平面PAB的距离是$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面垂直，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．