Question

过点P（0，4）作圆x²+y²=4的切线l，若l与抛物线y²=2px（p＞0）交于两点A、B，且OA⊥OB，求抛物线的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：本题考查的知识点是圆的切线方程，及直线与抛物线的关系，由L过点P（0，4）与圆x²+y²=4的相切，则我们可以设出直线的点斜式方程，根据圆心到直线的距离等于半径，即可求出斜率的值，代入抛物线方程，即可得到交点，由于以AB为直径的圆过原点O，故

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0，代入即可求得p，从而得到抛物线方程．

解答： 解：由已知得切线的斜率一定存在，设切线的方程为y=kx+4，即kx-y+4=0，
由于L与圆x²+y²=4相切，
∴圆心到直线L的距离d=

4

1+k2

=2，解得k=±

3

当k=

3

时，L的方程为：y=

3

x+4
联立抛物线y²=2px（p＞0）方程后，易得：x₁•x₂=

16

3

，y₁•y₂=

8 3

3

p
由于以AB为直径的圆过原点O
所以

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=0
解得p=-

2 3

3

（舍去）
当k=-

3

时，L的方程为：y=-

3

x+4
联立抛物线y²=2px（p＞0）方程后，易得：x₁•x₂=

16

3

，y₁•y₂=-

8 3

3

p
由于以AB为直径的圆过原点O
所以x₁•x₂+y₁•y₂=0
解得p=

2 3

3

∴抛物线的方程为y²=

4 3

3

x

点评：本题以抛物线为载体，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，解题时直线与抛物线的联立是关键．