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    给定an=
    1
    		n+1
    +
    		n
    (n∈N*)    ，则使a1+a2+…+ak为整数的最小正整数k的值是
    3
    3
    ．
    分析：由an=
    1
    		n+1
    +
    		n
    =
    		n+1
    -
    		n
    可考虑利用裂项求出a1+a2+…+ak=
    		k+1
    -1    ，根据题意可得k+1为完全平方数，从而可求
    解答：解：因为an=
    1
    		n+1
    +
    		n
    =
    		n+1
    -
    		n

    所以，a1+a2+…+ak=
    		2
    -1+
    		3
    -
    		2
    +…+
    		k+1
    -
    		k

    =
    		k+1
    -1
    要使得
    		k+1
    -1    为整数，则k+1为完全平方数，则当k=3时符合条件
    故答案为：3
    点评：本题主要考查了数列求和的裂项求和方法的应用，解题的关键是得到和之后，能够发现k+1为完全平方数得关键条件．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知数列{an}满足：a1=1，an+1=(1+
    1
    n
    )an+
    1
    n
    (n∈N*)
    （1）设bn=
    an
    n
    ，求数列{bn}的通项公式；
    （2）若对任意给定的正整数m，使得不等式an+t≥2m（n∈N*）成立的所有n中的最小值为m+2，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•广东模拟）给定函数f(x)=
    x2
    2(x-1)

    （1）试求函数f（x）的单调减区间；
    （2）已知各项均为负的数列{an}满足，4Sn•f(
    1
    an
    )=1    ，求证：-
    1
    an+1
    ＜ln
    n+1
    n
    ＜-
    1
    an
    ；
    （3）设bn=-
    1
    an
    ，Tn为数列 {bn} 的前n项和，求证：T2012-1＜ln2012＜T2011．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f(x)=log3
    		3
    x
    1-x
    ，M(x1，y1)，N(x2，y2)    是f（x）图象上的两点，横坐标为
    1
    2
    的点P满足2
    OP
    =
    OM
    +
    ON
    （O为坐标原点）．
    （1）求证：y1+y2为定值；
    （2）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*，n≥2令an=
    1
    6
    ，n=1
    1
    4(Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn＜m（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求m的取值范围．
    （3）对于给定的实数a（a＞1）是否存在这样的数列{an}，使得f(an)=log3(
    		3
    an+1)    ，且a1=
    1
    a-1
    ？若存在，求出a满足的条件；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    给定an=
    1
    		n+1
    +
    		n
    (n∈N*)    ，则使a1+a2+…+ak为整数的最小正整数k的值是______．

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