解答:解:(1)
f(x)=的定义域为{x|x≠1}…(1分) (此处不写定义域,结果正确不扣分)
f′(x)=
…(3分)
由f′(x)<0得0<x<1或1<x<2
单调减区间为(0,1)和(1,2)…(5分)(答案写成(0,2)扣(1分);不写区间形式扣1分)
(2)由已知可得2
Sn=an,当n≥2时,2
Sn-1=an-1两式相减得(a
n+a
n-1)(a
n-a
n-1+1)=0
∴a
n=-a
n-1或a
n-a
n-1=-1
当n=1时,2a
1=a
1-a
12得a
1=-1,若a
n=-a
n-1,则a
2=1这与题设矛盾
∴a
n-a
n-1=-1
∴a
n=-n …(8分)
于是,待证不等式即为
<ln<.
为此,我们考虑证明不等式
<ln<,x>0令1+
=t.则t>1,x=
再令g(t)=t-1-lnt,g′(t)=1-
由t∈(1,+∞)知g′(t)>0
∴当t∈(1,+∞)时,g(t)单调递增∴g(t)>g(1)=0 于是t-1>lnt
即
>ln,x>0 ①
令h(t)=lnt-1+
,h′(t)=
-= 由t∈(1,+∞)知h′(t)>0
∴当t∈(1,+∞)时,h(t)单调递增∴h(t)>h(1)=0 于是lnt>1-
即
ln>,x>0 ②
由①、②可知
>ln>,x>0 …(10分)
所以,
<ln<,即
-<ln<- …(11分)
(3)由(2)可知
bn= 则
Tn=1+++…+…(12分)
在
<ln<中令n=1,2,3…..2010,2011并将各式相加得
++…+<ln+ln+…+ln<1+++…+…(13分)
即 T
2012-1<ln2012<T
2011…14