Question

（2011•广东模拟）已知函数f（x）=

a-x

+

x

（a∈N^*），对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则正整数a的取值个数是

5

．

Answer 1

分析：对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可．

解答：解：∵a-x≥0，x≥0，∴0≤x≤a，∴定义域为[0，a]
对定义域内任意x₁，x₂，满足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，即表明f（x）的最大值与最小值的差小于1．（也就是值域区间的长度小于1），求其最大最小值即可
∵f（x）=

a-x

+

x

≥0
∴[f（x）]²=a+2

x(a-x)

≥a，当x=0或a时，f（x）取最小值

a

又x（a-x）≤[

x+(a-x)

2

]²=

a2

4

，当x=a-x即x=

a

2

时取等号
即[f（x）]²≤a+a=2a，f（x）≤

2a

，当x=

a

2

时取最大值

2a

∴（

2

-1）

a

＜1
∴

a

＜

1

2 -1

=1+

2

∴a＜3+2

2

∵a∈N^*，
∴a=1、2、3、4、5
∴正整数a的取值个数是5个．
故答案为：5

点评：本题考查恒成立问题，考查函数的最值，解题的关键是转化为值域区间的长度小于1．