Question

（2013•虹口区二模）已知抛物线C：y²=2px（p＞0），直线l交此抛物线于不同的两个点A

x1，y1

、B

x2，y2

．
（1）当直线l过点M

p，0

时，证明y₁•y₂为定值；
（2）当y₁y₂=-p时，直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（3）如果直线l过点M

p，0

，过点M再作一条与直线l垂直的直线l'交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点N到它们的距离相等？若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系即可得出；
（2）分直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论：把直线的斜截式方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系即可得出；
（3）利用（1）的结论和中点坐标公式得到点P的纵坐标，代入直线l的方程得到点P的横坐标，同理得到线段DE的中点Q的坐标，再利用中点坐标公式即可得到点N的坐标，若在一个抛物线上即满足题意．

解答：解：（1）l过点M

p，0

与抛物线有两个交点，
设l：x=my+p，由

x=my+p y2=2px

得y²-2pmy-2p²=0，
∴y1•y2=-2p2．
（2）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0时不合题意）．
由

y=kx+b y2=2px

得ky²-2py+2pb=0．
∴y1y2=

2pb

k

=-p，从而b=-

k

2

．
从而y=kx-

k

2

，得(x-

1

2

)k-y=0，即

x= 1 2 y=0

，即过定点

1 2 ，0

．
当直线l的斜率不存在，设l：x=x₀，代入y²=2px得y²=2px₀，y=±

2px0

，
∴y1y2=

2px0

•(-

2px0

)=-2px0=-p，从而x0=

1

2

，即l：x=

1

2

，也过

1 2 ，0

．
综上所述，当y₁y₂=-p时，直线l过定点

1 2 ，0

．
（3）依题意直线l的斜率存在且不为零，
由（1）得点P的纵坐标为yP=

1

2

(y1+y2)=pm，
代入l：x=my+p得xP=pm2+p，即P

pm2+p，pm

．
由于l'与l互相垂直，将点P中的m用-

1

m

代，得Q

p m2 +p，- p m

．
设N

x，y

，则

x= 1 2 ( p m2 +p+pm2+p) y= 1 2 (pm- p m )

消m得y2=

p

2

(x-2p)．
由抛物线的定义知存在直线x=

15p

8

，点

17p 8 ，0

，点N到它们的距离相等．

点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题通过联立方程转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．另外熟练写出直线的方程、应用中点坐标公式、熟悉分类讨论方法也是必备的能力．