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    一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m（1≤m≤4且m∈R）个单位的药剂，药剂在血液中的含量y（克）随着时间x（小时）变化的函数关系式近似为y=m•f（x），其中f（x）=
    10
    4+x
    ，    		0≤x＜6
    4-
    x
    2
    ，    		6≤x≤8
    ．
    （1）若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？
    （2）若病人每一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．
    考点：函数模型的选择与应用,函数恒成立问题,分段函数的应用
    专题：计算题,函数的性质及应用
    分析：（1将m=3代入得y=
    30
    4+x
    ，0≤x＜6
    12-
    3x
    2
    ，6≤x≤8
    ；从而解不等式即可．
    （2）当6≤x≤8时，y=2（4-
    1
    2
    x）+m[
    10
    4+x-6
    ]=8-x+
    10m
    x-2
    ，即8-x+
    10m
    x-2
    ≥2对6≤x≤8恒成立，即m≥
    x2-8x+12
    10
    对6≤x≤8恒成立，从而化为最值问题．
    解答： 解：（1）∵m=3，∴y=
    30
    4+x
    ，0≤x＜6
    12-
    3x
    2
    ，6≤x≤8
    ；
    当0≤x＜6时，
    30
    4+x
    ＞
    30
    4+6
    =3＞2；
    当6≤x≤8时，12-
    3
    2
    x≥2得，x≤
    20
    3
    ；
    故若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达
    20
    3
    小时．
    （2）当6≤x≤8时，y=2（4-
    1
    2
    x）+m[
    10
    4+x-6
    ]
    =8-x+
    10m
    x-2
    ，
    ∵8-x+
    10m
    x-2
    ≥2对6≤x≤8恒成立，
    故m≥
    x2-8x+12
    10
    对6≤x≤8恒成立，
    令g（x）=
    x2-8x+12
    10
    ，
    则g（x）在[6，8]上是增函数，
    故gmax（x）=
    6
    5
    ；
    故m≥
    6
    5
    ；
    故m的最小值为
    6
    5
    ．
    点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=acosx+xsinx，x∈[-
    π
    2
    ，
    π
    2
    ]    ．
    （Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；
    （Ⅱ）求集合A={x|f（x）=0}中元素的个数；
    （Ⅲ）当1＜a＜2时，问函数f（x）有多少个极值点？（只需写出结论）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    直线l过点P（
    4
    3
    ，2），且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点．
    （1）当△AOB的周长为12时，求直线l的方程；
    （2）当△AOB的面积为6时，求直线l的方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=2x2-3x+m（m为常数）与x轴交于A，B两点且线段AB的长为
    1
    2
    ．
    （1）求m的值；
    （2）若抛物线的顶点为P，求△ABP的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知当x∈[1，2）时，f（x）=|x-
    5
    3
    |；当x∈[1，+∞）时，f（2x）=2f（x），则方程f（x）=log8x（1≤x≤12）的根的个数为（　　）
    A、4B、5C、6D、7

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
    （Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
    （Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1-
    1
    x
    ）；
    （Ⅲ）在区间（1，e）上e 
    x
    a
    -e 
    1
    a
    ＜0恒成立，求实数a的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    动圆P过定点F（1，0）且与直线x=-1相切，圆心P的轨迹为曲线C．
    （1）求曲线C的方程；
    （2）过F作曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M、N，求证：直线MN必过定点．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    下列命题错误的是（　　）
    A、命题“若p则q”与命题“若￢q，则￢p”互为逆否命题
    B、命题“?x∈R，x2-x＞0”的否定是“?x∈R，x2-x≤0”
    C、?x＞0且x≠1，都有x+
    1
    x
    ＞2
    D、“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且∠AOB=60°．若
    OA
    •
    OB
    =6，则|
    OG
    |的最小值是
     
    ．

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