Question

已知函数f（x）=alnx（a＞0），e为自然对数的底数．
（Ⅰ）过点A（2，f（2））的切线斜率为2，求实数a的值；
（Ⅱ）当x＞0．时，求证：f（x）≥a（1-

1

x

）；
（Ⅲ）在区间（1，e）上e 

x

a

-e 

1

a

＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数的导数，根据导数的几何意义即可求实数a的值；
（Ⅱ）求函数的导数，利用导数法即可证明表达式；
（Ⅲ）利用导数和函数最值之间的关系即可求解．

解答： 解：（I） f′(x)=

a

x

，f′(2)=

a

2

=2，a=4．…（2分）
（Ⅱ）令g(x)=a(lnx-1+

1

x

)，g′(x)=a(

1

x

-

1

x2

)．…（4分）
令g'（x）＞0，即a(

1

x

-

1

x2

)＞0，解得x＞1，
所以g（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
所以g（x）最小值为g（1）=0，所以f(x)≥a(1-

1

x

)．…（6分）
（Ⅲ） 由题意可知e

x

a

＜e

1

a

x，化简得

x-1

a

＜lnx，a＞

x-1

lnx

．…（8分）
令h（x）=

x-1

lnx

，则h′（x）=

lnx-(x-1)• 1 x

(lnx)2

，
∴h′(x)=

lnx-1+ 1 x

(lnx)2

．…（9分）
由（Ⅱ）知，在x∈（1，e）上，lnx-1+

1

x

＞0，
∴h′（x）＞0，即函数h（x）在（1，e）上单调递增，
∴h（x）＜h（e）=e-1．…（11分），
∴a≥e-1．…（12分）

点评：本题主要考查导数的综合应用，考查导数的几何意义以及导数和不等式之间的关系，考查学生的运算和推理能力．