Question

求下列各式的极限值：
（Ⅰ）

lim

n→∞

(

n3

2n2-1

-

n2

2n+1

)；  
（Ⅱ）

lim

x→1

(

1

1-x

-

3

1-x3

)．

Answer 1

分析：（I）首先把括号里面的分式通分整理，再分子和分母同除以n³，得到式子的极限．
（II）首先把所给的分式进行通分整理，分母上应用立方差公式，分子上要分解因式，约分以后得到结果．

解答：解：（I）∵

lim

n→∞

(

n3

2n2-1

-

n2

2n+1

)=

lim

n→∞

(

n3+n2

4n3-2n2-2n-1

)=

1

4

；
（II）

lim

x→1

(

1

1-x

-

3

1-x3

)=

lim

x→1

(

1+x+x2-3

1-x3

)=

lim

x→1

(

x2+x-2

1-x3

)
=

lim

x→1

(

(x+2)(x-1)

1-x3

)=

lim

x→1

(

-(x+2)

x2+x+1

)=-1．

点评：本题看出分式的极限，本题解题的关键是对所给的分式进行整理，看清是变量趋向于什么时求极限，注意分母要有意义．